Свидетельство о регистрации журнала

СВИДЕТЕЛЬСТВО
о регистрации СМИ

Федеральной службы
по надзору в сфере связи,
информационных технологий
и массовых коммуникаций
(Роскомнадзор)
Эл. № ФС 77-52200
от 25 декабря 2012 г.


 

Учредитель:
АНОО «Центр дополнительного
профессионального
образования «АНЭКС»

Главный редактор:
Ольга Дмитриевна Владимирская, к.п.н.

 
 

Открытый урок по алгебре в 9 классе

Определение  арифметической  прогрессии.
Формула n-го члена  арифметической  прогрессии

Лаврентьева Ирина Александровна

Цель: формирование  понятия  арифметической  прогрессии  как  одного 
из  видов  последовательностей,  вывод  формулы
n – го  члена 
арифметической  прогрессии.

Задачи:

1. образовательные: –  повторить  понятие  последовательности,  закрепить  умение  находить  члены  числовой  последовательности,  заданной  формулой n – го  члена.  Познакомить  учащихся  с  определением  арифметической  прогрессии,  вывести  формулу n – го  члена  арифметической  прогрессии.  Научить  находить n –й  член  арифметической  прогрессии.

2. развивающие: –  вырабатывать  умения  сравнивать  математические  понятия,  находить  сходства  и  различия,  умения  наблюдать,  подмечать  закономерности,  проводить  рассуждения  по  аналогии;  сформировать  умение  строить  и  интерпретировать  математическую  модель  некоторой  реальной  ситуации.

3. воспитывающие: –  содействовать  воспитанию  интереса  к  математике  и  её приложениям,  активности,  умению  общаться,  аргументировано  отстаивать  свои  взгляды.

Оборудование  урока:

1. компьютер

2. мультимедийный  проектор

3. презентация

4. раздаточный  материал

Ход  урока

1.   Организационный  момент  (сайд  № 2)

Закончился  ХХ  век,
Куда  стремится  человек,
Изучен  космос  и  моря,
Строенье  звёзд  и  вся  земля,
Но  математиков  зовёт
Известный  лозунг
«Прогрессия – движение  вперёд!»

Сообщение  темы  и  целей  урока.
Тема  сегодняшнего  урока – арифметическая  прогрессия.  На  этом  уроке  мы  узнаем,  какая  последовательность  называется  арифметической  прогрессией,  как  отличить  её  от  других  последовательностей;  выведем  формулу
n – го  члена  арифметической  прогрессии,  научимся  применять  её  при  решении  задач.

2.   Актуализация  опорных  знаний (слайды  № 3,  4)

1. Устная  работа:

- С  каким  понятием  вы  познакомились  на  предыдущем  уроке?  (С  понятием  последовательности)

- Как  вы  понимаете,  что  такое  последовательность?  (Последовательность – это  числовой  ряд,  который  задан  некоторой  формулой  или  правилом)

- Какими  могут  быть  последовательности?  (Последовательности  могут  быть  конечными  и  бесконечными)

- Приведите,  пожалуйста,  примеры  таких  последовательностей     (1,  3,  5,  7,  …   –  последовательность  нечётных  чисел  бесконечна,            100,  101,  102,  …  ,  999 – последовательность  трёхзначных  чисел  конечна)

- Как  называются  числа,  образующие  последовательность?   (Числа,  образующие  последовательность,  называют  членами  последовательности)

 

· Слайд  № 3
Последовательность  (х
n)  задана  формулой  х n = 10 – 3n.  Найти    х1 ,  х2 ,  х3 ,  х40 ,  хк
( х1 = 7,  х2 = 4,  х3 = 1,  х40 = – 20 ,  хк = 10 – 3к).
Как  называют  такой  способ  задания  последовательности?  (это  способ  задания  последовательности  с  помощью  формулы
n – го  члена  последовательности)

· Слайд  № 4

b1 = 3 , b n + 1 = b n + 4. Назовите  первые  три  члена  последовательности  ( b n ).
(
b1 = 3, b 2 = 7, b 3 = 11)
Как  называют  такой  способ  задания  последовательности?

( Рекурентный  способ)

 

2.   Проверка  домашнего  задания  (слайды  № 5 – 8)

№ 365 (6)   Вычислить  первые  три  члена  последовательности, 
которая  задана  формулой
n – го  члена:   а n =  – n3.
Решение:
n = 1
а 1 =  ( – 1) 3 = 1  (неверно;  а 1 = – 13 =  –  1)

n = 2
а 2 = ( – 2) 3 =  – 8  (неверно;  а 2 =  – 23 =  – 8)
n = 3
а 3 =  – 3 3 =  – 27

Ответ: а 1 =  – 1;   а 2 =  – 8 ;   а 3 =  – 27

 

№ 366 (1)   Числовая  последовательность  задана  формулой n – го 
члена а
n = ( n – 1) ( n + 4 ),  Найти n,  если  а n = 150.

Решение: а n = 150
a 150 = ( 150 – 1) ( 150 + 4) = 149 154 = 22946
(неверно;  150 = (
n – 1) (n + 4)

n 2 + 3n – 154 = 0
n 1 n 2 = – 154

n 1 + n 2 =  – 3
n 1 = – 14; n 2 = 11
Ответ:
n 1 = – 14; n 2 = 11,  что  неверно,  т. к. )

Ответ : n = 11

№ 367  Вычислить  первые  четыре  члена  последовательности,  заданной  рекуррентной  формулой a n + 1 = an ,  если a 1 = 256 .
Решение:
a 1 = 256 ; a 2 =  – 16; a 3 = 16 ;  а 4 =  – 4  
(неверно;
a 1 = 256 ; a 2 = 16 ;  а 3 = 4 ;  а 4 = 2).
Ответ:
a 1 = 256 ; a 2 = 16 ;  а 3 = 4 ;  а 4 = 2

 

3.  Изучение  нового  материала  ( слайды  № 9 - … )

 

А  теперь  перейдём  к  изучению  нового  материала. 
Запишите  тему  урока.

 

Посмотрите  на  экран  (слайд  № 9),  здесь  приведены  
последовательности:

 

1) 2;  4;  6;  8;  …

2) 7;  14;  28;  56;  …

3) 3;  8;  13;  18;  …

4) – 17;   – 14;  – 11;  – 9;  …

5) 1;  5;  11;  19;  …

- Какая  закономерность  наблюдается  в  каждой  последовательности?

- Для  каждой  последовательности  найти  два  следующие  члена.

- Можно  ли  из  данных  последовательностей  выделить  группу  таких  числовых  рядов,  которые  объединены  каким – либо  общим  признаком?  Каким? (Каждый  следующий  член  последовательности  больше  предыдущего  на одно  и  то  же  число).

- Такие  числовые  последовательности  называют  арифметическими  прогрессиями.  Попробуйте  сформулировать  определение  арифметической  прогрессии. 

Слайд  № 10.

Числовая  последовательность  называется  арифметической 
прогрессией,  если  каждый  член  данной  последовательности,  начиная 
со   второго,  равен  предыдущему,  сложенному  с  одним  и  тем  же 
для  данной  последовательности  числом.

 

 

 

( а n ) – арифметическая  прогрессия,

если   а n + 1 = a n + d ,

где d –  некоторое  число,

d называют  разностью

арифметической  прогрессии.


 

Запишите  в  тетрадях  это  определение.

 

Слайд  №  11

 

Разность  между  любым  членом  арифметической  прогрессии,  начиная  со  второго,  и  предыдущим  членом  равна d.

 

а 1 а 2 а 3            .  .  . а n - 1 а n а n + 1

+ d           + d       + d                 + d          + d               + d             + d

 

d = a n + 1a n

 

Запишите  это  в  тетрадь.

Слайд  № 12
Посмотрите  на  экран.

1) 2;  5;  8;  11;  … d = 3

2) 1;  5;  16;  19;  …

3) 2;  – 2;   – 6;   – 10;  …       d =  – 4

4) 6;  6;  6;  6;  …                   d = 0

- Данные  последовательности  можно  назвать  арифметическими  прогрессиями?

- Какое  условие  должно  выполняться?  ( Разность  арифметической  прогрессии  должна  быть  постоянным  числом).

Слайд  № 13

Какие  последовательности  здесь  даны?  Какие  особенности  у  каждой  из  них  и  чем  они  связаны?

 

2;  5;  8;  11;  …                  d = 3                  a n + 1 > a n

2;  – 2;   – 6;   – 10;  …       d =  – 4              a n + 1 < a n

6;  6;  6;  6;  …                    d = 0                  a n + 1 = a n

§ если  в  арифметической  прогрессии  разность  положительна (d > 0),  то  прогрессия  возрастающая;

§ если  в  арифметической  прогрессии  разность  отрицательна (d < 0),  то  прогрессия  убывающая;

§ если  в  арифметической  прогрессии  разность  равна  нулю (d = 0),  то  прогрессия  называется  стационарной

 

- Как  вы  думаете,  чтобы  найти  любой  член  арифметической  прогрессии,  что  необходимо  знать?  ( Необходимо  знать  её  первый  член  а 1 и  разность ).

 

Решим  следующую  задачу:

В  арифметической  прогрессии  ( а n )  а 1 = 3, d = 0,2.  Найти  первые  три  члена  арифметической  прогрессии,  а 32,  а 100 .

Слайд  № 14

а 1 = 3
а 2 = а 1 +
d
а 2 = 3 + 0,2 = 3,2
а 3 = а 2 +
d
а 3 = 3,2 + 0,2 = 3,4

Как  же  поступить,  если  надо  найти  32 – й  или  100 – члены  этой  арифметической  прогрессии?

Понятно,  что  последовательное  вычисление  членов  арифметической  прогрессии  неудобно.  Давайте  попробуем  отыскать  более  удобный  способ,  требующий  меньшей  вычислительной  работы  и  более  быстрый.

Как  зависит  каждый  член  арифметической  прогрессии  от  первого  члена  и  разности?

 

Слайд  №  15

Формула n – го  члена

]  ( a n ): a 1 – первый  член  и d - разность  данной  арифметической  прогрессии.
Тогда    а 2 = а 1 +
d
а 3 = а 2 + d = (а 1 + d) + d = а 1 + 2d
а 4 = а 3 + d = (а 2 + d) + d = (а 1 + 2d)  + d = а 1 + 3d
а 5 = а 4 + d = (а 3 + d) + d = (а 1 + 3d)  + d = а 1 + 4d
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

а n = а 1 + d (n – 1)

Выяснилось,  что  существует  связь  между  порядковым  номером  члена  арифметической  прогрессии  и  множителем d.

Запишите  в  тетрадях  формулу n – го  члена  арифметической  прогрессии:

 

а n = а 1 + d (n – 1)

 

А  теперь  давайте  вернёмся  к  решению  предыдущей  задачи

В  арифметической  прогрессии  ( а n )  а 1 = 3, d = 0,2.  Найти  первые  три  члена  арифметической  прогрессии,  а 32,  а 100 .

Теперь,  зная  формулу n – го  члена  арифметической  прогрессии,  эта  задача  решается  проще.

Дано:   ( а n )
а 1 = 3,
d = 0,2
__________________

Найти:   а 32 ;   а 100

Решение.

а n = а 1 + d (n – 1)

1) а 32 = а 1 + d (32 – 1 )

а 32 = 3 + 0,2 (32 – 1 ) = 3 + 0.2 × 31 = 3 + 6,2 = 9,2

 

2) а 100 (учащимся  предлагается  найти  этот  член  арифметической  прогрессии  самостоятельно)

а 100 = а 1 + d (100 – 1)

а 100 = 3 + 0,2 × 99 = 3 + 19,8 = 21,8

 

Ответ:  а 32 = 9,2 ;    а 100 = 21,8 .

 

4.   Первичное  закрепление  изученного. № 380 (1) ;  379 (1) ;  376

№ 374 (1)

Дано:  ( а n ): a 9 = 2; d = 1,5

______________________

Найти: a 1

Решение.

 

а n = а 1 + d (n – 1)
а 1 = а
n d (n – 1)

а 1 = а 9d (9 – 1)

а 1 = 2 – 1,5 × 8 = 2 – 12 =  – 10

Ответ:  а 1 =  – 10

 

№  379 (1)

Дано:  (аn):   a 1 = 7 ;  a16 = 67

________________________

Найти:   d

Решение.

 

а n = а 1 + d (n – 1)
d = an- a1n-1

 

d = a16- a116-1

 

d = 67- 715 = 6015 = 4

 

Ответ: d = 4


№ 376   Число   – 22  является  членом  арифметической  прогрессии      44 ;  38 ;  32 ;  …  .  Найти  номер  этого  члена.

Дано:   (аn):   44 ;  38 ;  32 ;  …
а
n = – 22

__________________________

Найти: n

 

Решение.


а n = а 1 + d (n – 1)

 

1)    а 1 = 44

а 2 =38

d = а 2 – а 1

d = 38 – 44 = – 6

 

2)    а n = а 1 + d (n – 1)

– 22 = 44 – 6 (n – 1 ) ½ : ( – 2)

3 (n – 1) = 33 ½ :  3
n – 1 = 11
n = 12

Ответ: n = 12.

 

 

5.   Тест

ВАРИАНТ I

1. Из  данных  последовательностей  выбрать  арифметическую  прогрессию:
К: 2;  3;  5;  6;  …
П: 2;  4;  6;  8;  …

О: 2;  3;  4;  6;  …

Т: 1; 13 ; 34 ; 45 ;  ….

 

2. Первый  член  арифметической  прогрессии   а 1; а 2 ;  3;  5  …  равен  :
Е: 0             М: 2             Р: –1             Г: –4

3. Найти  шестой  член  арифметической  прогрессии  4;  7;  …

Б: 11             О: 19             О: 19             С: другой  ответ

4.  Найти  разность  арифметической  прогрессии  (аn),  если  а 1 = 12,
а 11 = 42.
Г: 3             Н: 4             А: 5             В: другой  ответ

 

Задание

1

2

3

4

Буква

П

Р

О

Г

 


ВАРИАНТ II

1.   Из  данных  последовательностей  выбрать  арифметическую     
прогрессию:
А: 5;  6;  7;  9;  …
К: 1;  4;  8;  11;  …

Р: 2;  5;  8;  11;  …

П: 1; 13 ; 19 ; 127 ;  ….

2.   Первый  член  арифметической  прогрессии   а 1; а 2 ;  5;  9  …  равен

О: 1             М: 0             Н: – 6             Е: – 3


3.   Найти  шестой  член  арифметической  прогрессии  3;  8;  …

Б: 23 Г: 18            С: 28              Л: другой  ответ

4.   Найти  разность  арифметической  прогрессии  (аn),  если  а 1 = 6,
а 8 = 27.
Г: 3            Н: другой  ответ             А: 2               С: 3

 

 

Задание

1

2

3

4

Буква

Р

Е

С

С

 

Самопроверка.   Ответ  слайд  №  16.

 

 

ВАРИАНТ I

ВАРИАНТ II

Задание

1

2

3

4

1

2

3

4

Буква

П

Р

О

Г

Р

Е

C

C

 

 

Прогресс ( лат. progressus – движение  вперёд,  успех) – направление  развития  от  низшего  к  высшему,  поступательное  движение  вперёд,  к  лучшему.
Наши  познания  в  курсе  алгебры  похожи  на  подъём  по  лестнице.  Сегодня  вы  поднялись  ещё  на  одну  ступеньку,  её  название – «Арифметическая  прогрессия».

 

6.   Подведение  итогов  урока (слайд  № 17).  Рефлексия.

Удалось  ли  вам  на  сегодняшнем  уроке  узнать  что – то  новое?  Какие – нибудь  открытия  сделали?  Вспомните  цели,  которые  мы  ставили  перед  собой  в  начале  урока.  Как  вы  думаете,  нам  удалось  достигнуть  поставленных  нами  целей?

 

 

 

 

7.   Домашнее  задание. § 28.  № 378,  379(2),  381 (2),  385 (2).

Ребята,  вы  сегодня  хорошо  потрудились.  Спасибо  за  урок.

Литература

 

1. Ш. А. Алимов  и  др.  «Алгебра.  9  класс»

2. Энциклопедия  для  детей. – М. ,  Аванта +,  1997

3. Контрольно – измерительные  материалы.  Алгебра : 9 класс. 
Л. Ю. Бабошкина. – М. :  ВАКО,  2010

4. http://ru.wikipedia.org

5. http://arprog.ru

6. http://www.Math.ru

 

 

Joomla SEF URLs by Artio