Печать

Решение комбинаторных задач

Бабичева Галина Николаевна,
учитель математики высшей категории,
старший эксперт ОГЭ
ГБОУ
лицей № 623 им.И.П. Павлова
Выборгского района Санкт-Петербурга,

 

 

Самую большую трудность в ЕГЭ по математике представляют комбинаторные задачи и задачи по теории вероятностей. Если использовать соответствующие схемы и подходы к решению этих типов задач, то они упростятся, и не будут вызывать особенных трудностей при их решении. Особенно если их сочетать вместе.

 

Примеры задач:

1)   Сколько разных трехзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4?

Схема решения (в скобках указаны возможные варианты):

 

Первая цифра

Вторая цифра

Третья цифра

 

1

2;3;4

(3,4);(2;4);(2;3)

 

2

1;3;4

(3,4);(1,4);(1,3)

 

3

1;2;4

(2,4);(1,4);(1,2)

 

4

1;2;3

(2,3);(1,3);(1,2)

Количество вариантов

4

По три

По два

 

 

 

Значит, общее количество вариантов: 4*3*2 = 24 трехзначных числа.

 

2)   Сколько разных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 6,7,8,9?

Решение: 4*4*4 = 64 трехзначных числа.

3)   Сколько разных двузначных чисел можно записать, используя 1, 2, 3, 4?

Решение: 4*4 = 16 двузначных чисел.

4)   Какова вероятность того, что двузначное число, записанное цифрами 1, 2, является четным?

Решение: Р(А) = 2 :( 2*2) =0,5

5)   Сколькими способами можно составить расписание из 4 разных предметов на один учебный день из четырех уроков?

Решение: 4*3*2*1=4!=24 способа

    Сколькими способами можно составить расписание из 6 разных предметов на один учебный день из шести уроков?

Решение: 6! = 720 способов

 

6)   Сколькими способами можно составить расписание из 6 разных предметов на один учебный день из шести уроков так, чтобы первый урок был физика, а последний физкультура?

Решение: 1*4*3*2*1*1=24 способа

7)   Сколькими способами можно составить расписание из 6 разных предметов на один учебный день из шести уроков так, чтобы первым уроком была физика, а перед последней физкультурой была алгебра?

Решение: 1*3*2*1*1*1=6 способов

8)   Найти вероятность того, что в расписании на один учебный день из шести уроков из шести разных предметов вторым уроком была химия.

Решение: Р(А) = (5*1*4*3*2*1) : (6*5*4*3*2*1) = 1/6

9)   Из пяти спортсменов для участия в турнире нужно послать троих. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: С35= 5! : (3!*(5-3)!)=10 способов

10)                     Сколькими способами из 36 карт можно выбрать две карты?

Решение: С236= 36! : (34!*2!)=630 способов

11)                     На окружности отмечено 12 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Решение: С312= 12! : (9!*3!)=223 треугольников

12)                     В вазе лежат 5 разных яблок и 6 разных апельсин. Сколькими способами из них можно выбрать два яблока и два апельсина?

Решение: С25* С26 =5!*6! : (2!*3!*2!*4!)=150 способов

13)                     В школьном хоре 6 девочек и 4 мальчика, в том числе Миша Орлов. Какова вероятность, что в концерте будет участвовать Миша, если в концерте будет участвовать один мальчик и одна девочка?

Решение: Р (А) = 6 : (С16* С14) = ¼

Целесообразно бывает при изучении комбинаторных эадач параллельно рассматривать задачи по теории вероятностей, тем самым показывая во-первых тесную связь этих тем, а во- вторых более рациональное их решение. Задачи, в которых рассматривается количество соединений разных элементов, можно начинать с 5 класса на факультативных, кружковых занятиях, при обобщающем повторении и на предметных неделях, циклично возвращаясь к ним на протяжении всего курса до 11 класса, углубляя знания по данным темам год от года.

Тогда к 11 классу учащиеся  уверенно вычисляя факториалы натуральных чисел, будут находить вероятности событий и отвечать на вопросы комбинаторных задач, не испытывая дискомфорта или страха перед нестандартными учебными задачами.

Joomla SEF URLs by Artio